· Fotometria differenziale e coefficiente di trasformazione del colore.

di F. Zattera

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Utilizzando le cartine GRAV come per quelle AAVSO, lo scopo è quello di lavorare esclusivamente per fotometria differenziale su un unico frame; con tale metodo possiamo trascurare il coefficiente legato alla estinzione atmosferica e porre il valore dell'Air Mass costante.

Rimane comunque il fatto che la nostra strumentazione (filtri e rivelatore) non sono perfettamente calibrati con i parametri standard e dobbiamo quindi considerare di calcolarci il coefficiente che ci permette di comparare le nostre misure con quelle del sistema standard. Se il nostro sistema fosse perfettamente calibrato al sistema standard, una volta calcolati i coefficienti di trasformazione Kbv relativi all’indice (Bl-Vl) e Kb eKv relativi alle misure strumentali sulle due relative bande B e V, troveremo che:

Kvb = 1, e Kv = 0, Kb = 0

Anche se sarà molto improbabile ottenere questi valori, i coefficienti non dovrebbero comunque scostarsi di molto da questi a meno di clamorosi difetti di costruzione o di linearità del sensore.

Rispetto alla calibrazione per la fotometria all-sky possiamo dire che per la fotometria differenziale non è vitale che le calibrazioni vengano eseguite solamente nel corso di una notte fotometrica e altresì diventa inutile e dispersivo calibrare il nostro sensore su una sequenza di Landolt, se non abbiamo scopo di calcolarci il valore della massa d’aria in funzione della declinazione; diventa, quindi, molto più semplice optare per un ammasso stellare che abbia al suo interno delle stelle di svariati indici (B-V) calibrati fotometricamente con precisione elevata e che si trovino nel campo di un unico frame. Un ottimo esempio potrebbe essere l’ammasso M67 nel Cancro.

La cosa essenziale è, in altre parole, quella di trovare la relazione che esiste tra la l’indice di colore strumentale da noi misurata (b-v) rispetto all’indice di colore basato sullo standard Johnson (B-V). Per fare questo è essenziale acquisire il frames con le sequenze stellari in almeno due bande fotometriche: nel nostro caso utilizzeremo appunto le bande b e v. Questi valori di coefficienti di trasformazione si devono intendere stagionali, possono subire l’influenza dell’effetto di alluminatura degli specchi piuttosto che dell’invecchiamento dell’elettronica del CCD e, pertanto, dovranno essere aggiornati almeno ogni 3-4 mesi.

Si proseguirà quindi, utilizzando il coefficiente Tbv relativo a (Bl-Bl) per trasformare il valore strumentale di (b-v) nell’indice standard (B-V) e una volta ricavato si utilizzerà quest’ultimo valore e il coefficiente Tv relativo a (v) per trovarci la magnitudine standard V di ogni stella della sequenza nell’ammasso.

Andando per ordine, proseguiamo ad acquisire un certo numero di frames nelle due bande fotometriche distinte che mediati fra di loro possano restituirci un buon rapporto segnale-rumore (s/r) anche nelle stelle più deboli che ci interessano per le nostre misure restando comunque attenti a non saturare il segnale delle stelle più luminose!

Andremo a leggere dal nostro software image processing (es. Astroart) i valori di (ADU)b e (ADU)v delle nostre stelle conosciute delle quali abbiamo noti i valori di magnitudine standard V e l’indice del colore (B-V) e quindi per conseguenza anche il valore di B.

Come prima cosa andremo a calcolarci le magnitudini locali utilizzando le seguenti equazioni:

Bl = -2,5log (ADU)b e Vl = -2,5log (ADU)v

Possiamo dire che le magnitudini standard B e V sono legate alle loro magnitudini locali Bl e Vl dalla semplice funzione di una retta (y=mx+q) sullo spazio cartesiano:

(B-Bl) = Cb + Kb* (B-V) e (V-Vl) = Cv + Kv * (B-V)

Consideriamo anche che le stelle che stiamo osservando sono da considerarsi tutte sotto identico Air-Mass, cosicché

l’unico coefficiente che ci interessa per la fotometria differenziale è quello del colore K che non è altro che:

Per Kb: la pendenza della retta che fitta i punti nel grafico avente nell’asse delle x i valori (B-Bl) e nell’asse delle y i valori di (B-V)

Per Kv: la pendenza della retta che fitta i punti nel grafico avente nell’asse delle x i valori (V-Vl) e nell’asse delle y i valori di (B-V)

Per Kvb: la pendenza della retta che fitta i punti nel grafico avente nell’asse delle x i valori (Bl-Vl) e nell’asse delle y i valori di (B-V)

Tali pendenze sono ricavabili con il semplice metodo dei minimi quadrati ed eseguibile con un semplice software o con un calcolatore scientifico.

E’ bene sempre costruire il proprio grafico, nel nostro caso, se lavoriamo in banda B e V, e mettendo nell’asse delle x i valori noti (B-V) e nell’asse delle y i valori di (Bl-Vl) la pendenza dovrà essere invertita per restituire correttamente i valori di Kbv secondo la seguente formula:

B-V vs Bl-Vl la pendenza sarà = 1/Kbv

B-V vs B-Bl la pendenza sarà = Kb .

Sequenza stellare fotometrica per la calibrazione CCD sull’ammasso di M67.

Campioni fotometrici in M67

B V R B-V V-R

1 9.929 10.027 10.059 -0.098 -0.032

2 10.884 10.616 0.268

3 11.052 9.701 8.986 1.351 0.715

4 12.402 11.978 0.424

5 12.730 12.402 0.328

6 12.825 12.256 11.919 0.569 0.337

7 12.487 11.346 10.880 1.051 0.556

8 13.318 12.869 12.580 0.449 0.289

9 13.322 12.769 12.439 0.553 0.330

10 12.584 12.118 11.838 0.466 0.280

11 13.430 12.630 12.163 0.800 0.467

12 9.663 8.961 0.702

13 12.550 12.208 0.342

1. Riduzione di misure

Dobbiamo ora ridurre i dati relativi ad una stella variabile in funzione della relativa sequenza partendo dalle misure degli ADU in banda V e B sottratti del conteggio ADU relativo al fondo cielo.

Partiremo quindi dai valori noti di (ADU)b e (ADU)v che potremmo misurare semplicemente con un software image processing del tipo Astroart, che sarà in grado di fornirci anche il dato relativo al rapporto segnale-rumore per ogni misura (S/N)b e (S/N)v. Tali dati saranno necessari poi per il calcolo dell’incertezza delle misure chiamato anche con un termine un po’ improprio “errore”.

Andremo quindi a ricavarci le magnitudini strumentali che chiameremo Vs e Bs con la seguente formula:

Vs = -2,5log (ADUs) e Bs = -2,5log (ADUb)

Riguardo la nostra stella variabile possiamo stimare il valore B-V che chiameremo (b-v)stim come segue:

(B-V)stim = [(Vs-Bs)-Int(s)]/Kbv

dove Int(s) è uguale al valore di intercetta della retta nel grafico avente nell’asse delle x i valori strumentali di (Bs-Vs) relativi alla sequenza delle stelle di confronto e nell’asse delle y i valori noti (B-V) relativi alle stelle di confronto. Kbv è il coefficiente di trasformazione del colore e corrisponde alla pendenza della retta nel grafico della calibrazione eseguita sull’ammasso M67 avente nell’asse delle x il valore strumentale (b-v) e nell’asse delle y l’indice noto per stella di (B-V).

Per ogni stella della sequenza con magnitudini e indice B-V noti, andremo a calcolarci i valore nelle due bande di Cb e Cv come segue:

Cb = B – (-2,5log(ADU)b) – Kb * (B-V) e

Cv = V – (-2,5log(ADU)v) – Kv * (B_V)

Dove Kb e Kv sono i coefficienti di trasformazione del colore che corrisponde alla pendenza della retta nel grafico della calibrazione eseguita su M67 avente nell’asse delle x (B-Bl) e nell’asse delle y (B-V) per la banda B e (V-Vl) vs (B-V) per la banda V.

Possiamo ora andare a calcolarci il valore della magnitudine in V della nostra variabile che chiameremo come Vstim:

Vstim = Vs + med(Cv) + Kv * (B-V)stim

Dove il coefficiente med(Cv) è la media dei valori di Cv di tutte le stelle di confronto della nostra sequenza.

Potremmo ora estrapolarci anche la magnitudine B della variabile che corrisponderà a :

Bstim = Vstim + (B-V)stim

A questo punto sarà semplice ripetere le operazioni per tutte le stelle di confronto delle quali conosciamo già i valori fotometrici e sarà quindi importante effettuare un controllo tramite l’osservato meno il calcolato (o-c) sull’attendibilità della sequenza.

Questo valore di delta risulta molto importante sulle sequenze preliminari: la maggior parte delle carte di riferimento CCD del GRAV infatti, sono preliminari; non si è altresì ancora sicuri della costanza di tali stelle se non dopo anni di osservazione costante; da qui l’importanza di identificare subito le stelle che derivano clamorosamente nel valore di o-c sopraccitato.

Bene, abbiamo quasi finito, non prima però di stimare l’errore inteso come incertezza delle nostre misure. E’ un dato molto importante e che deve accompagnare le misure della variabile nei report all’AAVSO per fare un esempio.

Questo valore è inversamente proporzionale al rapporto segnale-rumore (s/n), in parole povere quanto più elevato è tale rapporto tanto più bassa è l’incertezza delle nostre misure, e precisamente:

Verr = 2,5log(1+1/(S/N)v) e Berr = 2,5log(1+1(S/N)b).

Download del foglio excel: FOTOMETRIA BVR.xls per eseguire la procedura descritta in modo automatico.

Flavio Zattera

Responsabile della sezione CCD del GRAV.